Groupes de colle
Roulette de colle
Et si vous ne trouvez pas le professeur, rendez-vous devant la salle des profs
colle n°1 : du 9 au 20 septembre
colle n°2 : du 23 septembre au 4 octobre
colle n°3 : du 7 au 18 octobre
colle n°4 : du 4 au 16 novembre
colle n°5 : du 18 au 29 novembre
colle n°6 :
colle n°7 :
colle n°8 :
colle n°9 :
colle n° 10 :
colle n° 11 :
Revoir le formulaire...et cours de sup.
Familles libres, génératrices, bases. Sous-espaces vectoriels engendrés.
Dans $E$, Vect($u_1,...,u_p)$ est le plus petit s.e.v. de $E$ qui contient ($u_1,...,u_p)$.
2 exos classiques à savoir refaire: $\{(x,y,z)\in\R^3$ tels que $x+y+z=0\}$ et
$\{P\in\R_n[X]$ tels que $P(2)=0\}$. Montrer que ce sont des e.v. sur $\R$ et en déterminer une base.
Théorème de la base incomplète, dimension.
%est un s.e.v. de $E$ (\textbf{+\sou {dém}}), et c'
Définition et calcul du rang d'une famille de vecteurs.
Somme de $p$ s.e.v. de $E$: c'est un s.e.v. de $E$ %(\textbf{+\sou {dém}}).
Somme directe, caractérisation dans le cas de 2 s.e.v.
Supplémentaires, caractérisation (avec des bases et avec la dimension).
Existence d'un supplémentaire en dimension finie.\\
\fbox{\textbf{APPLICATIONS LINEAIRES}}:
\vspace{0.1cm}
Propriété: $f(0)=0$. Endomorphisme, isomorphisme, automorphisme.
(isomorphisme ssi l'image d'une base est une base, un isomorphisme "conserve les dimensions")
Si $f\in \mathcal{L}(E,F)$, Ker $f$ est un s.e.v. de $E$ et Im $f$ est un s.e.v. de $F$.
Si $(e_1,e_2,...,e_n)$ est une base de $E$, alors Im$f$=Vect($(f(e_1),f(e_2),...,f(e_n))$.
Théorème du rang. Conséquence: Si $f\in \mathcal{L}(E,F)$, $E$ et $F$ de même dimension,
alors [$f$ est injective $\Longleftrightarrow f$ est bijective $\Longleftrightarrow f$ est surjective]
Restriction d'une application linéaire à un s.e.v.
Projecteur sur $F$ parallèlement à $G$ (Ker $p=G$ et Im$p=F=\{x\in E$ tel que $p(x)=x\}$), symétrie par rapport à $F$ parallèlement à $G$ ($s=2p-Id$).
\sou{Caractérisation}:
Si $f\in \mathcal{L}(E)$ alors [$f$ est un projecteur $\Longleftrightarrow f\circ f=f$]
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